Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân đ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp dựng khoảng cách từ chân đường vuông góc dến một mặt phẳng.

Giải chi tiết:

Trong (ABC) kẻ \(HD \bot AB \Rightarrow HD//AC\)

Có: \(\left. \begin{array}{l}AB \bot HD\\AB \bot SH\left( {SH \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SHD} \right)\)

Trong (SHD) kẻ \(HK \bot SD\)

Có: \(\left. \begin{array}{l}HK \bot SD\\HK \bot AB\left( {AB \bot \left( {SHD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right) = HK\)

Ta có: \(\Delta ADH \sim \Delta AIB\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{HD}}{{IB}} = \dfrac{{AH}}{{AB}}\)

Tam giác ABC vuông cân tại A nên \(BC = AB\sqrt 2  = 2a\)

\( \Rightarrow AI = IB = \dfrac{{BC}}{2} = a\) \( \Rightarrow AH = \dfrac{3}{2}AI = \dfrac{3}{2}a\)

Suy ra \(HD = \dfrac{{IB.AH}}{{AB}} = \dfrac{{a.\dfrac{3}{2}a}}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{4}a\)

Vì \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot HD \Rightarrow \Delta SHD\) vuông tại H

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{H{S^2}}} + \dfrac{1}{{H{D^2}}} = \dfrac{{10}}{{9{a^2}}} + \dfrac{8}{{9{a^2}}} = \dfrac{2}{{{a^2}}} \Rightarrow HK = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)

Chọn C.