Cho biểu thức

Câu hỏi: Cho biểu thức $P = {{x\sqrt x - 3} \over {x - 2\sqrt x - 3}} - {{2(\sqrt x - 3)} \over {\sqrt x + 1}} + {{\sqrt x + 3} \over {3 - \sqrt x }}$ Rút gọn P và tìm GTNN của P.

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Với x > 0; x ≠ 9, ta có:

$P = {{x\sqrt x - 3} \over {x - 2\sqrt x - 3}} - {{2(\sqrt x - 3)} \over {\sqrt x + 1}} + {{\sqrt x + 3} \over {3 - \sqrt x }}(x > 0,x \ne 9)$

$= {{x\sqrt x - 3} \over {(\sqrt x + 1)(\sqrt x - 3)}} - {{2(\sqrt x - 3)} \over {\sqrt x + 1}} - {{\sqrt x + 3} \over {\sqrt x - 3}}$

$= {{x\sqrt x - 3 - 2{{(\sqrt x - 3)}^2} - (\sqrt x + 3)(\sqrt x + 1)} \over {(\sqrt x + 1)(\sqrt x - 3)}}$

$= {{x\sqrt x - 3 - 2(x - 6\sqrt x + 9) - (x + 4\sqrt x + 3)} \over {(\sqrt x + 1)(\sqrt x - 3)}}$

$= {{x\sqrt x - 3 - 2x + 12\sqrt x - 18 - x - 4\sqrt x - 3} \over {(\sqrt x + 1)(\sqrt x - 3)}}$

$= {{x\sqrt x - 3x + 8\sqrt x - 24} \over {(\sqrt x + 1)(\sqrt x - 3)}}$

$\eqalign{ & = {{x(\sqrt x - 3) + 8(\sqrt x - 3)} \over {(\sqrt x + 1)(\sqrt x - 3)}} \cr & = {{(\sqrt x - 3)(x + 8)} \over {(\sqrt x + 1)(\sqrt x - 3)}} \cr & = {{x + 8} \over {\sqrt x + 1}} \cr}$

Vậy với x > 0; x ≠ 9, thì: $P = {{x + 8} \over {\sqrt x + 1}}$

$P = {{x + 8} \over {\sqrt x + 1}} = {{{{(\sqrt x + 1)}^2} - 2(\sqrt x + 1) + 9} \over {\sqrt x + 1}} = \sqrt x + 1 + {9 \over {\sqrt x + 1}} - 2 \ge 2\sqrt {(\sqrt x + 1).{9 \over {\sqrt x + 1}}} - 2 = 4$

Vậy Min P = 4 $\Leftrightarrow \sqrt x + 1 = {9 \over {\sqrt x + 1}} \Leftrightarrow {(\sqrt x + 1)^2} = 9 \Leftrightarrow \sqrt x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4$ ( Do $\sqrt x + 1 > 0$ )

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Đề thi chính thức vào 10 môn Toán hệ chuyên - Chuyên Lê Quý Đôn - Bình Định 2016 - 2017 (có lời giải chi tiết)

↑

Cho biểu thức

Câu hỏi: Cho biểu thức Rút gọn P và tìm GTNN của P.

Câu hỏi: Cho biểu thức $P = {{x\sqrt x - 3} \over {x - 2\sqrt x - 3}} - {{2(\sqrt x - 3)} \over {\sqrt x + 1}} + {{\sqrt x + 3} \over {3 - \sqrt x }}$ Rút gọn P và tìm GTNN của P.