Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. Sử dụng tính chất và dấu hiệu nhận biết tam giác vuông cân.

2) Chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp trong một đường tròn bằng cách chứng minh góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện (\(\angle MCD = \angle ANM = {45^o}\))

3) Chứng minh \(\Delta AMN \sim \Delta ADC\) (g.g)  và sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC đường cao BM để suy ra đpcm.

Giải chi tiết:

1. Tính số đo góc tam giác ACB

Vì M là điểm chính giữa cung AB nên \(MA = MB\) (tính chất mqh giữa tiếp tuyến và dây cung) và \(\angle AMB = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \Delta AMB\) vuông cân tại M

\( \Rightarrow \angle MAB = {45^o}\) (tính chất tam giác vuông cân)

Ta có BC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O tại B

\( \Rightarrow \angle ABC = {90^o} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại B

Mà \(\angle MAB = {45^o}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \Delta ABC\) vuông cân tại B (dhnb)

\( \Rightarrow \angle ACB = {45^o}\) (tính chất tam giác vuông cân).

2. Chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp trong một đường tròn.

Ta có: M là điểm chính giữa cung AB (gt)

\( \Rightarrow \) Cung AM bằng \(\frac{1}{4}\) đường tròn \( \Rightarrow sd\,\,cung\,\,AM = \frac{1}{4}{.360^o} = {90^o}\)

Mà \(\angle ANM\) là góc nội tiếp chắn cung AM

\( \Rightarrow \angle ANM = \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,AM = \frac{1}{2}{.90^o} = {45^o}\)

Lại có: \(\angle MCD = \angle ACB = {45^o}\) (cmt)

\( \Rightarrow \angle MCD = \angle ANM = {45^o}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác MNDC nội tiếp trong một đường tròn (dhnb) (đpcm).

3. Chứng minh AM.AC = AN.AD = 4R².

Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta ADC\) có:

\(\begin{array}{l}\angle A\,\,\,\,chung\\\angle ANM = \angle ACD = {45^o}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AMN \sim \Delta ADC\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow AM.AC = AN.AD\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABC\) vuông tại B, đường cao BM ta có:

\(AM.AC = A{B^2} \Leftrightarrow AM.AC = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}\)    (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AM.AC = AN.AD = 4{R^2}\)  (đpcm)