1)     Tháng đầu, hai tổ sản xuất được 900 chi tiế...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

+) Biểu diễn các đại lượng đã biết và các đại lượng chưa biết theo ẩn vừa gọi.

+) Dựa vào dữ kiện đề bài cho để lập phương trình hoặc hệ phương trình. Giải hệ phương trình tìm ẩn.

+) Đối chiếu với điều kiện của ẩn và kết luận bài toán.

2) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét và biểu thức bài cho để tìm giá trị của m.

+) Đối chiếu với điều kiện của m và kết luận.

Giải chi tiết:

1)               Gọi số chi tiết máy trong tháng đầu tổ I sản xuất được là x, số chi tiết máy trong tháng đầu tổ II sản xuất được là y (chi tiết) (ĐK: \(x,y\in \mathbb{N}*,x,y<900\) )

Vì tháng đầu hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy nên \(x+y=900\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Tháng thứ hai tổ I sản xuất vượt mức 10% nên số chi tiết máy tổ I sản xuất được trong tháng thứ hai là \(110%x=1,1x\)

Tháng thứ hai tổ II sản xuất vượt mức 12% nên số chi tiết máy tổ I sản xuất được trong tháng thứ hai là \(112%y=1,12y\)

Vì tháng thứ hai sản xuất được 1000 chi tiết máy nên \(1,1x+1,12y=1000\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\(\begin{array}{l}
\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 900\,\\
1,1x + 1,12y = 1000\,\,\,
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1,1x + 1,1y = 990\,\\
1,1x + 1,12y = 1000\,\,\,
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0,02y = 10\,\\
x + y = 900\,\,\,
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 500\,\\
x = 900 - y\,\,\,
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 400\,\,\left( {tm} \right)\,\\
y = 500\,\,\,\left( {tm} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy số chi tiết máy trong tháng đầu tổ I sản xuất được là 400, số chi tiết máy trong tháng đầu tổ II sản xuất được là 500.

2)               Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì\(\Delta >0\)

\(\Delta =25-4\left( 3m-1 \right)=-12m+29>0\Leftrightarrow m<\frac{29}{12}\)

Khi đó theo Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-5 \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=3m-1 \\ \end{align} \right.\)

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,x_1^3 - x_2^3 + 3{x_1}{x_2} = 75 \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) + 3{x_1}{x_2} = 75\\
\Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right) + 3{x_1}{x_2} = 75 \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {25 - 3m + 1} \right) + 3\left( {3m - 1} \right) = 75\\
\Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {26 - 3m} \right) + 9m - 3 = 75 \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {26 - 3m} \right) = 78 - 9m\\
\Leftrightarrow {x_1} - {x_2} = 3
\end{array}\)

Kết hợp \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-5\) suy ra \({{x}_{1}}=-1,\,{{x}_{2}}=-4\).

Khi đó \({{x}_{1}}{{x}_{2}}=3m-1\Leftrightarrow 4=3m-1\Leftrightarrow 3m=5\Leftrightarrow m=\frac{5}{3}\left( tm \right)\)

Chọn D