Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1....

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Thiết diện đi qua BD’ luôn là 1 hình bình hành

Gắn hệ trục tọa độ sau đó tính diện tích của hình bình hành và tìm giá trị nhỏ nhất của hình bình hành đó.

Giải chi tiết:

Giả sử mặt phẳng đi qua BD’ cắt A’B’ tại E \(\left( E\in A'B' \right)\) và cắt hình lập phương theo thiết diện là BED’F, ta dễ dàng chứng minh được BED’F là hình bình hành.

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ ta có \(A'\left( 0;0;0 \right),\,\,B\left( 1;0;1 \right),\,\,D'\left( 0;1;0 \right)\). Gọi \(E\left( x;0;0 \right)\,\,\left( 0\le x\le 1 \right)\)Ta có: \({{S}_{BED'F}}=2{{S}_{EBD'}}=2.\frac{1}{2}d\left( E;BD' \right).BD'=d\left( E;BD' \right).\sqrt{3}\)

Để diện tích thiết diện là nhỏ nhất khi và chỉ khi \(d\left( E;BD' \right)\) đạt GTNN.

Ta có: \(\overrightarrow{EB}=\left( 1-x;0;1 \right),\,\overrightarrow{BD'}=\left( -1;1;-1 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{EB};\overrightarrow{BD'} \right]=\left( -1;-x;1-x \right)\)\(\Rightarrow d\left( E;BD' \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{EB}.\overrightarrow{BD'} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{BD'} \right|}=\frac{\sqrt{1+{{x}^{2}}+{{\left( 1-x \right)}^{2}}}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2{{x}^{2}}-2x+2}}{\sqrt{3}}\)

Ta có: \(2{{x}^{2}}-2x+2=2{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{2}\ge \frac{3}{2}\Rightarrow d\left( E;BD' \right)\ge \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\) , khi đó \({{S}_{BED'F}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{2}\)

Chọn D.