Tìm hệ số của \({x^6}{y^2}\) trong khai triển \({\...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tổng quát \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} .{a^{n\, - \,k}}.{b^k}\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Tìm hệ số của số hạng cần tìm.

Giải chi tiết:

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

\({\left( {\sqrt {xy}  + {x \over y}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} .{\left( {\sqrt {xy} } \right)^{10\, - \,k}}.{\left( {{x \over y}} \right)^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} .{x^{{{10\, - \,k} \over 2}}}.{y^{{{10\, - \,k} \over 2}}}.{{{x^k}} \over {{y^k}}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} .{x^{{{10\, + \,k} \over 2}}}.{y^{{{10\, - \,3k} \over 2}}}.\)

Hệ số của \({x^6}{y^2}\) ứng với \({x^6}{y^2} = {x^{{{10\, + \,k} \over 2}}}.{y^{{{10\, - \,3k} \over 2}}} \Rightarrow \left\{ \matrix{  6 = {{10 + k} \over 2} \hfill \cr   2 = {{10 - 3k} \over 2} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow k = 2\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \,\,\)Hệ số cần tìm là \(C_{10}^2 = 45.\)

Chọn A