Với mọi số nguyên dương n, tổng \({S_n} = {4^n} +...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Thử với n = 2, ta thấy \({S_2} = {4^2} + 15.2 - 1 = 45\), vậy ta sẽ dùng quy nạp để chứng minh \({S_n}\,\, \vdots \,\,9.\)

Giải chi tiết:

Với n = 2 ta có \({S_2} = {4^2} + 15.2 - 1 = 45\), ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh \({S_n} = {4^n} + 15n - 1\) chia hết cho 9 với mọi số nguyên dương n.

Với n = 1 ta có \({S_1} = 4 + 15 - 1 = 18\) chia hết cho 9 \( \Rightarrow \) Khẳng định trên đúng với n = 1.

Giả sử khẳng đinh trên đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {4^k} + 15k - 1\,\,\, \vdots \,\,\,9\),  ta chứng minh đúng đến n = k + 1, tức là \({S_k} = {4^{k + 1}} + 15\left( {k + 1} \right) - 1\) cũng chia hết cho 9.

Ta có: \({S_k} = {4^{k + 1}} + 15\left( {k + 1} \right) - 1 = {4.4^k} + 15k + 14 = 4\left( {{4^k} + 15k - 1} \right) - 45k + 18\).

Theo giả thiết quy nạp ta có: \({S_k} = {4^k} + 15k - 1\,\,\, \vdots \,\,\,9\) mà \(\left( { - 45k + 18} \right)\,\, \vdots \,\,9 \Rightarrow {S_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,9.\)

Vậy \({S_n} = {4^n} + 15n - 1\) chia hết cho 9 với mọi số nguyên dương n.

Chọn C.