Cho biểu thức \(S = C_{2017}^2 + C_{2017}^3 + C_{2...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xuất phát từ khai triển nhị thức \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

+) Thay \(a,b,n\) bằng các giá trị thích hợp.

+) Áp dụng tính chất \(C_n^k = C_n^{n - k}\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
S = C_{2017}^2 + C_{2017}^3 + C_{2017}^4 + C_{2017}^5... + C_{2017}^{1008}\\
\Leftrightarrow S + C_{2017}^0 + C_{2017}^1 = C_{2017}^0 + C_{2017}^1 + C_{2017}^2 + C_{2017}^3 + C_{2017}^4 + C_{2017}^5... + C_{2017}^{1008}\\
\Leftrightarrow S + 2018 = C_{2017}^0 + C_{2017}^1 + C_{2017}^2 + C_{2017}^3 + C_{2017}^4 + C_{2017}^5... + C_{2017}^{1008}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)
\end{array}\)

Áp dụng tính chất \(C_n^k = C_n^{n - k}\) ta có:

\(C_{2017}^0 + C_{2017}^1 + C_{2017}^2 + C_{2017}^3 + C_{2017}^4 + C_{2017}^5... + C_{2017}^{1008} = C_{2017}^{2017} + C_{2017}^{2016} + C_{2017}^{2015} + C_{2017}^{2014} + C_{2017}^{2013} + C_{2017}^{2012}... + C_{2017}^{1009}\)

Suy ra \(S + 2018 = C_{2017}^{2017} + C_{2017}^{2016} + C_{2017}^{2015} + C_{2017}^{2014} + C_{2017}^{2013} + C_{2017}^{2012}... + C_{2017}^{1009}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có:

\(2S + 4036 = C_{2017}^0 + C_{2017}^1 + C_{2017}^2 + C_{2017}^3 + ... + C_{2017}^{1008} + C_{2017}^{1009} + ... + C_{2017}^{2016} + C_{2017}^{2017}\)

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^{2017}} = C_{2017}^0{a^{2017}} + C_{2017}^1{a^{2016}}b + C_{2017}^2{a^{2015}}{b^2} + ... + C_{2017}^{2016}a{b^{2016}} + C_{2017}^{2017}{b^{2017}}\)

Thay \(a = 1,b = 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}
{2^{2017}} = C_{2017}^0 + C_{2017}^1 + C_{2017}^2 + ... + C_{2017}^{2016} + C_{2017}^{2017}\\
\Leftrightarrow {2^{2017}} = 2S + 4036 \Leftrightarrow {2^{2016}} = S + 2018 \Leftrightarrow S = {2^{2016}} - 2018
\end{array}\)

Chọn A