Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình chữ nhật vớ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Giải chi tiết:

Xác định \({{60}^{0}}=\widehat{\left( SD,\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SD,AD \right)}=\widehat{SDA}\) và \(SA=AD.\tan \widehat{SDA}=2a\sqrt{3}\).

Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD ta có

\(\begin{array}{l}CA \cap \left( {SBD} \right) = O \Rightarrow \frac{{d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{CO}}{{AO}} = 1\\ \Rightarrow d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\end{array}\).

Trong (ABCD) kẻ \(AE\bot BD\) và trong (SAE) kẻ \(AK\bot SE\,\,\,\left( 1 \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AE\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BD \bot AK\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AK\bot \left( SBD \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SBD \right) \right)=AK\).

Tam giác vuông \(BAD\), có \(AE=\frac{AB.AD}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}\).

Tam giác vuông \(SAE\), có \(AK=\frac{SA.AE}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{E}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Vậy \(d\left( C;\left( SBD \right) \right)=AK=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Chọn A.