Cho dãy số \(({{u}_{n}})\)xác định bởi  \(\left\{...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tính \({{u}_{2}},\,{{u}_{3}},...\), từ đó dự đoán công thức tổng quát của dãy số.

- Rút ra nhận xét.

Giải chi tiết:

\(({u_n}):\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{ccccc}
u{ _1} = \dfrac{1}{2}\\
{u_{n + 1}} = \dfrac{1}{{2 - {u_n}}},\,\,(n \ge 1)
\end{array} \right.\,\,\)

\(\begin{align}  & {{u}_{2}}=\frac{1}{2-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}=\frac{2}{2+1} \\ & {{u}_{3}}=\frac{1}{2-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}=\frac{3}{3+1} \\\end{align}\)

Chứng minh bằng quy nạp: \({{u}_{n}}=\frac{n}{n+1},\,\,\forall n=1;2;...\,\,\,\,(*)\)

* Với \(n=1,\,n=2\): (*) đúng

* Giả sử (*) đúng với \(n=k\), tức là \({{u}_{k}}=\frac{k}{k+1}\) , ta chứng minh (*) đúng với \(n=k+1\) , tức là cần chứng minh \({{u}_{k+1}}=\frac{k+1}{k+2}\)

Ta có: \({{u}_{k+1}}=\frac{1}{2-{{u}_{k}}}=\frac{1}{2-\frac{k}{k+1}}=\frac{1}{\frac{2k+2-k}{k+1}}=\frac{k+1}{k+2}\)

Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*) đúng với mọi n = 1, 2, …

Như vậy, công thức tổng quát của dãy \(({{u}_{n}})\)là: \({{u}_{n}}=\frac{n}{n+1},\,\,\forall n=1;2;...\,\,\,\,(*)\)

Từ (*) ta có \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\dfrac{n+1}{n+2}-\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{{{n}^{2}}+2n+1-{{n}^{2}}-2n}{\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)}=\dfrac{1}{\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)}>0\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\) là dãy tăng và  \(\lim {{u}_{n}}=\lim \frac{n}{n+1}=\lim \frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1\Rightarrow \) \(({{u}_{n}})\) là dãy tăng tới 1 khi \(n\to +\infty \)

Chọn B.