Cho hypebol \((H):{{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{y^2...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

*) Chứng minh \({1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}} = {1 \over {{a^2}}} - {1 \over {{b^2}}}\) không đổi.

*) Áp dụng kết quả này ta được: \({1 \over {{a^2}}} - {1 \over {{b^2}}} = {1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}} \ge {2 \over {OA.OB}} = {1 \over {{S_{OAB}}}} \Rightarrow {S_{OAB}} \ge {{{a^2}{b^2}} \over {{a^2} + {b^2}}}\)

Giải chi tiết:

Giả sử phương trình đường thẳng AC là \(y = kx\)

Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \matrix{  y = kx \hfill \cr   {{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  y = kx \hfill \cr   {{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{k^2}{x^2}} \over {{b^2}}} = 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {y^2} = {k^2}{x^2} \hfill \cr   {x^2}\left( {{1 \over {{a^2}}} - {{{k^2}} \over {{b^2}}}} \right) = 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x^2} = {{{a^2}{b^2}} \over {{b^2} - {k^2}{a^2}}} \hfill \cr   {y^2} = {{{k^2}{a^2}{b^2}} \over {{b^2} - {k^2}{a^2}}} \hfill \cr}  \right.\)

\( \Rightarrow O{A^2} = {x^2} + {y^2} = {{{a^2}{b^2}} \over {{b^2} - {k^2}{a^2}}} + {{{k^2}{a^2}{b^2}} \over {{b^2} - {k^2}{a^2}}} = {{\left( {1 + {k^2}} \right){a^2}{b^2}} \over {{b^2} - {k^2}{a^2}}} \Rightarrow {1 \over {O{A^2}}} = {{{b^2} - {k^2}{a^2}} \over {\left( {1 + {k^2}} \right){a^2}{b^2}}}\)

Chứng minh tương tự ta được \(O{B^2} = {{\left( {1 + {k^2}} \right){a^2}{b^2}} \over {{k^2}{b^2} - {a^2}}} \Rightarrow {1 \over {O{B^2}}} = {{{k^2}{b^2} - {a^2}} \over {\left( {1 + {k^2}} \right){a^2}{b^2}}}\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow {1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}} = {{{b^2} - {k^2}{a^2}} \over {\left( {1 + {k^2}} \right){a^2}{b^2}}} + {{{k^2}{b^2} - {a^2}} \over {\left( {1 + {k^2}} \right){a^2}{b^2}}}  \cr   &  = {{{b^2}\left( {1 + {k^2}} \right) - {a^2}\left( {1 + {k^2}} \right)} \over {\left( {1 + {k^2}} \right){a^2}{b^2}}} = {{{b^2} - {a^2}} \over {{a^2}{b^2}}} = {1 \over {{a^2}}} - {1 \over {{b^2}}} = const \cr} \)

Khi đó:

\(\eqalign{   {1 \over {{a^2}}} - {1 \over {{b^2}}} = {1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}}\mathop  \ge \limits^{Cauchy} {2 \over {OA.OB}} = {4 \over {{S_{ABCD}}}}  \cr     \Leftrightarrow {{{b^2} - {a^2}} \over {{a^2}{b^2}}} \ge {4 \over {{S_{ABCD}}}} \Leftrightarrow {S_{ABCD}} \ge {{4{a^2}{b^2}} \over {{b^2} - {a^2}}}  \cr     \Rightarrow {S_{ABCD\,Min}} = {{4{a^2}{b^2}} \over {{b^2} - {a^2}}} \Leftrightarrow OA = OB \cr} \)

\( \Leftrightarrow \Delta OAB\) vuông cân tại O

\( \Rightarrow y = kx\) là tia phân giác của góc phần tư thứ I

\( \Rightarrow k = 1\).

Chọn: A