Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) trong khai tr...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Từ giả thiết giải phương trình để tìm n, sử dụng các công thức định nghĩa tổ hợp, sau đó thay n và sử dụng khai triển của nhị thức Newton để tìm hệ số của số hạng chứa \({x^8}\).

Giải chi tiết:

ĐK: \(n \ge 0\)

\(\eqalign{  & C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow {{\left( {n + 4} \right)!} \over {\left( {n + 1} \right)!3!}} - {{\left( {n + 3} \right)!} \over {n!3!}} = 7\left( {n + 3} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow \left( {n + 4} \right)\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right) - \left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right) = 42\left( {n + 3} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow \left( {n + 3} \right)\left( {{n^2} + 6n + 8 - {n^2} - 3n - 2 - 42} \right) = 0  \cr   &  \Leftrightarrow \left( {n + 3} \right)\left( {3n - 36} \right) = 0  \cr   &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  n =  - 3\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr   n = 12\,\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Khi đó ta có \({\left( {{1 \over {{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^{12}}\) có số hạng tổng quát là: \({T_{k + 1}} = C_{12}^k{\left( {{1 \over {{x^3}}}} \right)^k}{\left( {\sqrt {{x^5}} } \right)^{12 - k}} = C_{12}^k{x^{ - 3k}}{x^{{5 \over 2}\left( {12 - k} \right)}} = C_{12}^k{x^{30 - {{11k} \over 2}}}\)

Số hạng chứa \({x^8} \Leftrightarrow 30 - {{11k} \over 2} = 8 \Leftrightarrow k = 4\)

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) là \(C_{12}^4 = 495.\)

Chọn A.