Tập nghiệm của phương trình \({x^2} + 3{\rm{x}} +...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Đặt \(\sqrt {{x^2} + 1} = u\left( {u \ge 0} \right);x + 3 = v\), đưa phương trình về dạng phương trình tích để tìm u, v

+ Thay giá trị u, v tìm được vào phương trình ban đầu suy ra x

Giải chi tiết:

Ta có: \({x^2} + 3{\rm{x}} + 1 = \left( {x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + 1} \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right) + 3\left( {x + 3} \right) - 9 = \left( {x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + 1} \)

Đặt \(\sqrt {{x^2} + 1} = u\left( {u \ge 0} \right);x + 3 = v\)

Phương trình trở thành:

\({u^2} + 3v - 9 = uv \Leftrightarrow {u^2} + 3v - 9 - uv = 0 \Leftrightarrow \left( {{u^2} - 9} \right) - v(u - 3) = 0 \Leftrightarrow \left( {u - 3} \right)\left( {u + 3 - v} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\u + 3 - v = 0\end{array} \right.\)

+) Với u = 3\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} = 9 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 9 \Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt 2 \)

+) Với u + 3 – v = 0\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} + 3 - (x + 3) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} = x \Leftrightarrow {x^2} + 1 = {x^2}\)(vô nghiệm)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ { \pm 2\sqrt 2 } \right\}\)

Chọn D.