Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC tạo với mặt đáy...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi A’ là hình chiếu của A trên mặt phẳng (P). Khi đó \(d\left( A;\left( P \right) \right)=AA'\).

Sử dụng các công thức tính diện tích tam giác ABC.

\(\begin{array}{l}S = \frac{1}{2}bc\sin \widehat A = \frac{1}{2}acsin\widehat B = \frac{1}{2}ab\sin \widehat C\\S = \frac{{abc}}{{4R}}\end{array}\)

Trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Giải chi tiết:

Gọi H là hình chiếu đỉnh S lên mp(ABC) khi đó ta có góc tạo bởi SA, SB, AC với đáy lần lượt là \(\widehat{SAH};\widehat{SBH};\widehat{SCH}\) và \(\widehat{SAH}=\widehat{SBH}=\widehat{SCH}={{60}^{0}}\)

Dễ dàng chứng minh được \({{\Delta }_{v}}SAH={{\Delta }_{v}}SBH={{\Delta }_{v}}SCH\Rightarrow HA=HB=HC\Rightarrow \)H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Đặt SH = h.

Xét tam giác vuông SAH có AH = SH.cot 60⁰ = \(\frac{h}{\sqrt{3}}=R\)

 Xét tam giác ABC có: \({{S}_{ABC}}=\frac{AB.AC.BC}{4R}=\frac{AB.AC.a}{4\frac{h}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}a}{4h}AB.AC\)

Mà \({{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}AB.AC=\frac{\sqrt{2}}{4}AB.AC\)

\(\Rightarrow \frac{\sqrt{3}a}{4h}=\frac{\sqrt{2}}{4}\Leftrightarrow h=\frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\).

Chọn C.