Cho biểu thức\(A=\frac{2{{x}^{2}}+4x}{{{x}^{3}}-4x...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Rút gọn biểu thức \(A\) sử dụng các quy tắc cộng, trừ, rút gọn phân thức.

+ Thay \(x=4\) vào biểu thức rút gọn được và tính \(A\).

+ Biến đổi \(A\) về dạng \(A=P\left( x \right)+\frac{m}{Q\left( x \right)}\) với \(P\left( x \right),Q\left( x \right)\) là các đa thức của \(x\) và \(m\) là một số thực không đổi.

Khi đó để \(A\)nguyên thì \(Q\left( x \right)\) là ước của \(m\).

Giải chi tiết:

a) Với \(x\ne 0;\text{ }x\ne -2;~x\ne 2\) ta có:

\(\begin{array}{l}A = \frac{{2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 4x}} + \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} + 2x}} + \frac{2}{{2 - x}}\\A = \frac{{2{x^2} + 4x}}{{x\left( {{x^2} - 4} \right)}} + \frac{{{x^2} - 4}}{{x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{2}{{x - 2}}\\A = \frac{{2x\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{2}{{x - 2}}\\A = \frac{2}{{x - 2}} + \frac{{x - 2}}{x} - \frac{2}{{x - 2}}\\A = \frac{{x - 2}}{x}\end{array}\)

b) Thay \(x=4\) vào \(A=\frac{x-2}{x}\) ta được:\(A=\frac{4-2}{4}=\frac{1}{2}\)

c) Ta có: \(A=\frac{x-2}{x}=1-\frac{2}{x}\).

Để \(A\) nguyên thù \(\frac{2}{x}\) nguyên hay \(x\in U\left( 2 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 2 \right\}\).

Kết hợp điều kiện \(x\ne 0;x\ne \pm 2\) ta được \(x=\pm 1\).

Vậy \(x\in \left\{ -1;1 \right\}\)  

Chọn B