Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Mặt phẳng \(\left( \a...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Đưa về cùng mặt phẳng.

- Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) có điểm chung M và lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d’ thì giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) là đường thẳng đi qua M và song song với d và d’.

- Vận dụng các dấu hiệu nhận biết hình bình hành và hình thoi.

Giải chi tiết:

Câu 5.

Gọi M là trung điểm của AC.

Trong (ABC) qua M kẻ MN // AB \(\left( {N \in BC} \right)\)

Trong (ACD) và (BCD) kẻ MQ // CD và NP // CD \(\left( {Q \in AD,P \in BD} \right)\).

Ta có:\(\left\{ \matrix{M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) \hfill \cr AB \subset \left( {ABC} \right) \hfill \cr AB//\left( \alpha \right) \hfill \cr MN//AB \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN.\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\left( \alpha  \right) \cap \left( {BCD} \right) = NP//CD\)

\(\eqalign{ & \left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) = PQ//AB \cr & \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = QM//CD. \cr} \)

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi \(mp\left( \alpha  \right)\) là tứ giác MNPQ.

Ta có: MN // PQ // AB, MQ // NP // CD nên MNPQ là hình bình hành.

Ta có: MN là đường trung bình của tam giác ABC và MQ là đường trung bình của tam giác ACD nên \(MN = {1 \over 2}AB,MQ = {1 \over 2}CD.\)

Mà AB = CD nên MN = MQ. Vậy MNPQ là hình thoi.

Chọn C.