Chứng minh rằng với mọi a, b: a)...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức đã cho.

+) Sử dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu và sử dụng các hằng đẳng thức.

+) Nhân với cùng một số dương thì bất đẳng thức không đổi chiều.

+) Cộng cả 2 vế với cùng một số thì bất đẳng thức không đổi chiều.

Giải chi tiết:

\(\begin{align} & a)\ \ 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\ge {{\left( a+b \right)}^{2}} \\  & \Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}\ge {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}} \\  & \Leftrightarrow {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\ge 0 \\  & \Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}\ge 0\ \ \forall \ \ a,b. \\ \end{align}\)                                          

\(\begin{align}  & b)\ \ {{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab \\  & \Leftrightarrow {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\ge 4ab \\  & \Leftrightarrow {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\ge 0 \\  & \Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}\ge 0\ \ \ \forall \ a,\ b. \\ \end{align}\)

\(c)\ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge ab+bc+ca.\)

Ta có hằng đẳng thức: \({{\left( a-b \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab.\ \ \ \left( 1 \right)\)

Tương tự ta có: \({{a}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 2ac.\ \ \ \left( 2 \right)\)

                      \({{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 2bc.\ \ \ \left( 3 \right)\)

Cộng vế với vế của (1);  (2) và (3) với nhau ta được:

\(\begin{align}  & \ \ \ \ \ 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge 2ab+2bc+2ca \\  & \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge ab+bc+ca.\ \ \ \ \left( dpcm \right) \\ \end{align}\)