Cho \(\Delta ABC\), vẽ ra phía ngoài của hai tam g...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Áp dụng tính chất tam giác cân, tam giác đều.

+) Tính chất 3 đường cao của tam giác, tính chất tia phân giác của 1 góc.

Giải chi tiết:

a) Vì I là trung điểm của BC (gt) \(\Rightarrow IB=IC\)  (tính chất trung điểm)

Xét \(\Delta BIH\) và \(\Delta CIK\) có:

\(\widehat{HIB}=\widehat{CIK}\) (đối đỉnh)

\(\begin{align}  & IB=IC\left( cmt \right) \\  & HI=IK\left( gt \right) \\  & \Rightarrow \Delta BIH=\Delta CIK\left( c-g-c \right) \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow BH=CK\) (2 cạnh tương ứng) và \(\widehat{HBI}=\widehat{KCI}\) (2 góc tương ứng).

Vì \(\Delta ABE\) là tam giác đều (gt) \(\Rightarrow \widehat{ABE}={{60}^{0}}\) (tính chất tam giác đều).

Mà BH là đường cao (gt) suy ra BH cũng là đường phân giác của \(\widehat{EBA}\Rightarrow \widehat{HBA}=\frac{\widehat{EBA}}{2}={{30}^{0}}\) (tính chất tia phân giác)

Ta có: \(\widehat{HBI}={{30}^{0}}+\widehat{ABC}\Rightarrow \widehat{KCI}={{30}^{0}}+\widehat{ABC}\)

Lại có: \(\widehat{KCF}+\widehat{ACF}+\widehat{ACB}+\widehat{ICK}={{360}^{0}}\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow \widehat{KCF}={{360}^{0}}-\widehat{ACF}-\widehat{ACB}-\widehat{ICK}={{360}^{0}}-{{60}^{0}}-\widehat{ACB}-{{30}^{0}}-\widehat{ABC} \\  & ={{270}^{0}}-\left( \widehat{ACB}+\widehat{ABC} \right)={{270}^{0}}-\left( {{180}^{0}}-\widehat{BAC} \right)={{90}^{0}}+\widehat{BAC}\left( 1 \right) \\ \end{align}\)

 Vì \(\Delta ABE\) là tam giác đều (gt) \(\Rightarrow \widehat{EAB}={{60}^{0}}\) (tính chất tam giác đều).

Mà AH là đường cao (gt) suy ra AH cũng là đường phân giác của \(\widehat{EAB}\Rightarrow \widehat{HAB}=\frac{\widehat{EAB}}{2}={{30}^{0}}\) (tính chất tia phân giác)

Vì \(\Delta ACF\) là tam giác đều (gt) \(\Rightarrow \widehat{CAF}={{60}^{0}}\) (tính chất tam giác đều)

Ta có: \(\widehat{FAH}=\widehat{HAB}+\widehat{FAC}+\widehat{BAC}={{60}^{0}}+{{30}^{0}}+\widehat{BAC}={{90}^{0}}+\widehat{BAC}\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\Rightarrow \widehat{KCF}=\widehat{FAH}\) .

Vì \(\widehat{HBA}=\widehat{HAB}={{30}^{0}}\left( cmt \right)\Rightarrow \Delta ABH\) cân tại A (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\(\Rightarrow AH=BH\)(tính chất tam giác cân).

Mà \(BH=CK\left( cmt \right)\Rightarrow AH=CK\)

Xét \(\Delta AHF\) và \(\Delta CKF\) có:

AH = CK (cmt)

\(\widehat{KCF}=\widehat{FAH}\left( cmt \right)\)

AF = CF (vì \(\Delta ACF\) là tam giác đều)

\(\Rightarrow \Delta AHF=\Delta CKF\left( c-g-c \right)\). (đpcm)

b) Ta có: \(\Delta AHF=\Delta CKF\left( cmt \right)\Rightarrow HF=KF\) (2 cạnh tương ứng).

\(\Rightarrow \Delta KHF\) cân tại F. (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).    (4)

Ta có: \(\Delta AHF=\Delta CKF\left( cmt \right)\Rightarrow \widehat{HFA}=\widehat{CFK}\) (2 góc tương ứng).

Mà \(\widehat{HFA}+\widehat{HFC}=\widehat{CFA}={{60}^{0}}\)(\(\Delta ACF\) đều) \(\Rightarrow \widehat{HFK}=\widehat{HFC}+\widehat{FCK}={{60}^{0}}\left( 5 \right)\)

Từ \(\left( 4 \right)\left( 5 \right)\Rightarrow \Delta KHF\) là tam giác đều.