Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng m...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Áp dụng tính chất các cạnh của tam giác để chứng minh.

Giải chi tiết:

Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên: \(\left\{ \begin{align}  & a+b-c>0 \\  & c+b-a>0 \\  & c+a-b>0 \\ \end{align} \right..\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(\begin{array}{l}
\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} + \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} > 1\\
\Leftrightarrow \frac{{c({a^2} + {b^2} - {c^2}) + a({b^2} + {c^2} - {a^2}) + b({a^2} + {c^2} - {b^2})}}{{2abc}} - 1 > 0\\
\Leftrightarrow c({a^2} + {b^2} - {c^2}) + a({b^2} + {c^2} - {a^2}) + b({a^2} + {c^2} - {b^2}) - 2abc > 0\\
\Leftrightarrow c({a^2} + {b^2} - {c^2} + 2ab) + a({b^2} + {c^2} - {a^2} - 2bc) + b({a^2} + {c^2} - {b^2} - 2ac) > 0\\
\Leftrightarrow c\left[ {{{(a + b)}^2} - {c^2}} \right] + a\left[ {{{(b - c)}^2} - {a^2}} \right] + b\left[ {{{(a - c)}^2} - {b^2}} \right] > 0\\
\Leftrightarrow c(a + b - c)(a + b + c) + a(b - c - a)(b - c + a) + b(a - c + b)(a - c - b) > 0\\
\Leftrightarrow (a + b - c)(c(a + b + c) + a(b - c - a) + b(a - c - b)) > 0\\
\Leftrightarrow (a + b - c)({c^2} - {a^2} + 2ab - {b^2}) > 0\\
\Leftrightarrow (a + b - c)(c - {(a - b)^2}) > 0\\
\Leftrightarrow (a + b - c)(c - a + b)(c + a - b) > 0.
\end{array}\)

Điều này là luôn đúng theo chứng minh ban đầu.

Vậy ta có điều phải chứng