Cho phương trình: \((\cos x + 1)(c{\rm{os}}2x - m\...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\) , đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích và tìm điều kiện đề phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left( {\cos x + 1} \right)\left( {{\rm{cos}}2x - m\cos x} \right) = m{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + 1} \right)\left( {{\rm{2co}}{{\rm{s}}^2}x - 1 - m\cos x} \right) = m\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + 1} \right)\left( {{\rm{2co}}{{\rm{s}}^2}x - 1 - m\cos x} \right) = m\left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + 1} \right)\left( {2{{\cos }^2}x - 1 - m\cos x - m + m\cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + 1} \right)\left( {2{{\cos }^2} - m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2{\cos ^2}x = m + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Xét phương trình (1): \(\cos x =  - 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\), phương trình (1) không có nghiệm thuộc \(\left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right]\) .

Khi đó để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm thuộc \(\left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right]\)

thì phương trình (2) phải có đúng 2 nghiệm thuộc \(\left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right]\).

Xét phương trình (2) ta có \(2{\cos ^2}x = m + 1 \Leftrightarrow 2{\cos ^2} - 1 = m \Leftrightarrow \cos 2x = m\).

Với \(x \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right] \Rightarrow 2x \in \left[ {0;\frac{{4\pi }}{3}} \right]\). Xét trên đường tròn lượng giác ta thấy:

Để phương trình (2) có đúng hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán thì \( - 1 < m \le  - \frac{1}{2}\).

Chọn D.