Phương trình \({\log _4}{(x + 1)^2} + 2 = {\log _{...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa tất cả về cùng cơ số 2, sử dụng các công thức \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\) (giả sử các biểu thức là có nghĩa)

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định :  

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 1 \ne 0\\
4 - x > 0\\
4 + x > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 4 < x < 4\\
x \ne - 1
\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
{\log _4}{(x + 1)^2} + 2 = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {4 - x} + {\log _8}{(4 + x)^3}\\
\Leftrightarrow {\log _2}\left| {x + 1} \right| + {\log _2}4 = {\log _2}(4 - x) + {\log _2}(4 + x)\\
\Leftrightarrow {\log _2}\left( {4\left| {x + 1} \right|} \right) = {\log _2}\left[ {(4 - x)(4 + x)} \right]\\
\Leftrightarrow 4\left| {x + 1} \right| = 16 - {x^2}\,\,(*)
\end{array}\)

Nếu \(x >  - 1\), phương trình 

\((*) \Leftrightarrow 4(x + 1) = 16 - {x^2} \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\,(TM)\\
x = - 6\,\,(L)
\end{array} \right.\)

Nếu \(x <  - 1\),  phương trình

\((*) \Leftrightarrow - 4(x + 1) = 16 - {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2 + 2\sqrt 6 \,(L)\\
x = 2 - 2\sqrt 6 \,\,(TM)
\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Chọn: C.