Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, M là điểm bất...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)     Xét \(\Delta EDC\) và \(\Delta FBC\) ta có:

\(\begin{array}{l}DC = BC\;\left( { = a} \right)\\DE = BF\left( {gt} \right)\\\widehat {EDC} = \widehat {BFC} = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta EDC = \Delta FBC\left( {c - g - c} \right).\\ \Rightarrow \widehat {BCF} = \widehat {ECD} \Rightarrow \widehat {ECD} + \widehat {MCB} = \widehat {BCF} + \widehat {MCB}\\ \Rightarrow \widehat {DCB} = \widehat {ECF} = {90^0}.\end{array}\)

Xét \(\Delta ECF\) ta có:

N là trung điểm của EF

\(\widehat {ECF} = {90^0}.\)

\( \Rightarrow NC = NE = NF\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Vì \(\Delta EDC = \Delta FBC\;\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow CE = CF\) (hai cạnh tương ứng).

\( \Rightarrow CN\) là đường cao của \(\Delta ECF\) là tam giác vuông cân.

\( \Rightarrow CN \bot EF \Rightarrow \Delta CNE\) vuông cân tại \(N.\)

 \( \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {ECN}( = {45^0}) \Rightarrow \widehat {ECA} = \widehat {NCB}.\)

Hơn nữa:

 \(\frac{{BC}}{{NC}} = \frac{{AC}}{{EC}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{NC}}{{EC}}\;\;\left( { = \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right).\)

Do đó: \(\Delta ECA\backsim \Delta NCB(c.g.c).\;\;\;\;\left( {dpcm} \right)\)

b)     Đặt \(AE = x\)  ta có: \(E{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = {\left( {a + x} \right)^2} + {a^2}.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ccccc}
S{ _{AEC}} = \frac{1}{2}CD.AE = \frac{1}{2}a.x = \frac{{ax}}{2}\\{S_{EFC}} = \frac{1}{2}E{C^2} = \frac{{{{\left( {a + x} \right)}^2} + {a^2}}}{2}\end{array} \right..\\\Rightarrow {S_{AEFC}} = {S_{AEC}} + {S_{EFC}} = \frac{{ax}}{2} + \frac{{{{\left( {a + x} \right)}^2} + {a^2}}}{2} = \frac{{2{a^2} + 3ax + {x^2}}}{2}.\end{array}\)

Từ đây ta có :

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{S_{ACFE}} = 6{S_{ABCD}} \Leftrightarrow 2{a^2} + 3ax + {x^2} = 12{a^2}}\\{ \Leftrightarrow {x^2} + 3ax - 10{a^2} = 0}\\{ \Leftrightarrow {x^2} + 5ax - 2ax - 10{a^2} = 0}\\{ \Leftrightarrow (x - 2a)(x + 5a) = 0}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2a = 0}\\{x + 5a = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2a\;\;\left( {tm} \right)}\\{x =  - 5a\;\;\left( {ktm} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 2a.}\end{array}\)

Ta có: \(\frac{{AM}}{{CD}} = \frac{{AE}}{{ED}} \Leftrightarrow AM = \frac{{CD.AE}}{{ED}} = \frac{{a.x}}{{a + x}} = \frac{{2{a^2}}}{{3a}} = \frac{{2a}}{3}.\)

Vậy M là điểm nằm giữa A và B thỏa mãn :  \(AM = \frac{{2a}}{3}.\)