Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi \(\overrightarrow {{n_1}} \) là 1 VTPT của \(\left( {ABC} \right)\) ta có \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\).

\(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Khi đó ta có \(\cos \left( {\left( {ABC} \right);\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow k } \right)} \right| = {{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow k } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}}\).

Giải chi tiết:

Ta có : \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;2;0} \right);\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;0;m} \right)\)

Gọi \(\overrightarrow {{n_1}} \) là 1 VTPT của \(\left( {ABC} \right)\) ta có \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2m;m;2} \right)\).

\(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Khi đó ta có \(\cos \left( {\left( {ABC} \right);\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow k } \right)} \right| = {{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow k } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = {2 \over {\sqrt {5{m^2} + 4} }}\).

\( \Leftrightarrow \cos {60^0} = {1 \over 2} = {2 \over {\sqrt {5{m^2} + 4} }} \Leftrightarrow \sqrt {5{m^2} + 4}  = 4 \Leftrightarrow 5{m^2} = 12 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt {{{12} \over 5}} \)

Chọn C.