Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \rig...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right)\).

+) Gọi \(\overrightarrow n ;\,\,\overrightarrow {{n_1}} \) lần lượt là 1 VTPT của mặt phẳng (P) và \(\left( \alpha  \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha  \right)//AB\\\left( \alpha  \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow n \end{array} \right.\). Xác định vector \(\overrightarrow {{n_1}} \). Từ đó suy ra dạng của phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

+) Gọi d là khoảng cách từ  điểm I đến mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cắt (S) theo một đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính bằng \(\sqrt 3 \) ta có \(d = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \).

Giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 1; - 1} \right)\), bán kính R = 3.

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;1;1} \right)\), 1 VTCP của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1;1} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{n_1}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha  \right)//AB\\\left( \alpha  \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow n \end{array} \right.\)

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow n } \right] = \left( {2; - 2; - 4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 1; - 2} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) .

Khi đó mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có dạng \(x - y - 2z + D = 0\).

Gọi d là khoảng cách từ  điểm I đến mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cắt (S) theo một đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính bằng \(\sqrt 3 \). Ta có \(d = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  = \sqrt {9 - 3}  = \sqrt 6 \).

Ta có \(d = \sqrt 6  \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 - \left( { - 1} \right) - 2\left( { - 1} \right) + D} \right|}}{{\sqrt 6 }} = \sqrt 6  \Leftrightarrow \left| {5 + D} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D = 1\\D =  - 11\end{array} \right.\)

Với \(D = 1\) thì \(\left( \alpha  \right):\,\,x - y - 2z + 1 = 0\) không đi qua A (vì \( - 1 - 1 - 2.0 + 1 \ne 0\)) nên \(\left( \alpha  \right)//AB\). Tương tự ki \(D =  - 11\), mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):\,\,x - y - 2z - 11 = 0\) cũng song song với AB.

Vậy có hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\left( \alpha  \right):\,\,x - y - 2z + 1 = 0\) và \(\left( \alpha  \right):\,\,x - y - 2z - 11 = 0\).

Chọn A.