Tích phân \(\int\limits_{-1}^{1}{\frac{x}{{{x}^{2}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(\left| x \right| = \left[ \begin{array}{l}x\,\,khi\,\,x \ge 0\\ - x\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right. \Rightarrow \) Tách tích phân đã cho \(\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-1}^{0}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}\)

Sau đó sử dụng phương pháp tính tích phân của hàm hữu tỉ.

Giải chi tiết:

\(\int\limits_{-1}^{1}{\frac{x}{{{x}^{2}}-5\left| x \right|+6}dx}=\int\limits_{-1}^{0}{\frac{x}{{{x}^{2}}+5x+6}dx}+\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{{{x}^{2}}-5x+6}dx}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}\)

Xét tích phân \({{I}_{1}}=\int\limits_{-1}^{0}{\frac{x}{{{x}^{2}}+5x+6}dx}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}} = \frac{x}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{A}{{x + 2}} + \frac{B}{{x + 3}} = \frac{{Ax + 3A + Bx + 2B}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A + B = 1\\3A + 2B = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A =  - 2\\B = 3\end{array} \right. \Rightarrow \frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}} = \frac{{ - 2}}{{x + 2}} + \frac{3}{{x + 3}}\\ \Rightarrow {I_1} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {\frac{{ - 2}}{{x + 2}} + \frac{3}{{x + 3}}} \right)dx}  = \left. {\left( { - 2\ln \left| {x + 2} \right| + 3\ln \left| {x + 3} \right|} \right)} \right|_{ - 1}^0\\ =  - 2\ln 2 + 3\ln 3 - 3\ln 2 = 3\ln 3 - 5\ln 2\end{array}\) 

Xét tích phân \({{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{{{x}^{2}}-5x+6}dx}\) ta có :

\(\begin{array}{l}\frac{x}{{{x^2} - 5x + 6}} = \frac{x}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{A}{{x - 2}} + \frac{B}{{x - 3}} = \frac{{Ax - 3A + Bx - 2B}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A + B = 1\\ - 3A - 2B = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A =  - 2\\B = 3\end{array} \right. \Rightarrow \frac{x}{{{x^2} - 5x + 6}} = \frac{{ - 2}}{{x - 2}} + \frac{3}{{x - 3}}\\ \Rightarrow {I_2} = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{ - 2}}{{x - 2}} + \frac{3}{{x - 3}}} \right)dx}  = \left. {\left( { - 2\ln \left| {x - 2} \right| + 3\ln \left| {x - 3} \right|} \right)} \right|_0^1\\ = 3\ln 2 + 2\ln 2 - 3\ln 3 = 5\ln 2 - 3\ln 3\end{array}\)

\(\Rightarrow I={{I}_{1}}+{{I}_{2}}=0\)

Cách 2 :

Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{x}{{{x}^{2}}-5\left| x \right|+6}\) có TXĐ : \(D=R\backslash \left\{ \pm 2;\pm 3 \right\}\) là tập đối xứng \(\Rightarrow \forall x\in D\Rightarrow -x\in D\)

Có \(f\left( -x \right)=\frac{-x}{{{\left( -x \right)}^{2}}-5\left| -x \right|+6}=\frac{-x}{{{x}^{2}}-5\left| x \right|+6}=-f\left( x \right)\Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm lẻ, do đó \(\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}=0\)

Chọn C.