Cho tứ diện đều \({\rm{A}}BC{\rm{D}}\) cạnh bằng \...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\) bằng cách dựng \(MH \bot AD\) với \(M\) là trung điểm của \(BC\), sau đó chứng minh \(MH\) chính là đường vuông góc chung.

Giải chi tiết:

Gọi O là trọng tâm \(\Delta ABC\)

Kẻ \(AM \bot BC\) và \(MH \bot A{\rm{D}}\)

Vì \(DABC\) là tứ diện đều \( \Rightarrow DO \bot \left( {ABC} \right)\)

Vì \(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AO = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Xét \(\Delta DAO\) vuông tại O

\(D{O^2} + O{B^2} = D{B^2}\)\( \Rightarrow DO = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Ta có: \(DO \bot BC\) và \(AM \bot BC\)

\( \Rightarrow \left( {DAM} \right) \bot BC\)\( \Rightarrow MH \bot BC\)

Lại có \(MH \bot DA\)\( \Rightarrow MH = d\left( {BC,DA} \right)\)

Xét \(\Delta {\rm{D}}AM\), ta có:

\(DO.AM = MH.A{\rm{D}}\)\( \Rightarrow MH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow d\left( {BC,DA} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)