Cho hàm số \(y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-a{{x}^{2}}-3ax+...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng điều kiện cần của cực trị và định lý Vi-et để tìm trực tiếp giá trị của \(a,\) sau đó kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có \(y'={{x}^{2}}-2ax-3a.\)

Để phương trình đã cho có hai điểm cực trị \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\) thì ta cần phương trình \(y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2ax-3a=0\,\,\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 

\(\Delta ' = {a^2} - \left( { - 3a} \right) = {a^2} + 3a > 0\Leftrightarrow a\left( {a + 3} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}a > 0\\a < - 3\end{array} \right.\)

Khi đó áp dụng định lý Vi-et ta nhận được \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2a\,\,\left( 2 \right).\)

Chú ý \({{x}_{1}}\) là nghiệm của \(\left( 1 \right)\) và sử dụng \(\left( 2 \right)\)  nên \(x_{1}^{2}-2a{{x}_{1}}-3a=0\Rightarrow x_{1}^{2}+2a{{x}_{2}}+9a=\left( x_{1}^{2}-2a{{x}_{1}}-3a \right)+2a\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+12a=2a\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+12a=4{{a}^{2}}+12a.\)

Tương tự ta có \(x_{2}^{2}+2a{{x}_{1}}+9a=4{{a}^{2}}+12a.\)

Từ đó

\(\begin{align}& \,\,\,\,\frac{x_{1}^{2}+2a{{x}_{2}}+9a}{{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{x_{2}^{2}+2a{{x}_{1}}+9a}=2\Leftrightarrow \frac{4{{a}^{2}}+12a}{{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{4{{a}^{2}}+12a}=2\Leftrightarrow \frac{4a+12}{a}+\frac{a}{4a+12}=2 \\& \Leftrightarrow {{\left( 4a+12 \right)}^{2}}+{{a}^{2}}-2a\left( 4a+12 \right)=0\Leftrightarrow {{\left[ \left( 4a+12 \right)-a \right]}^{2}}=0\Leftrightarrow a=-4\in \left( -5;\frac{-7}{2} \right). \\\end{align}\)

Chọn đáp án B.