Tìm \(m\) để phương trình \({x^3} + \left( {m + 1}...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - {x_0}} \right)\left[ {a{x^2} + b'x + c'} \right] = 0 \Leftrightarrow \left( {x - {x_0}} \right)g\left( x \right) = 0\)

+) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow pt\,\,g\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt khác \({x_0} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\g\left( {{x_0}} \right) \ne 0\end{array} \right.\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 3m - 2} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\f\left( x \right) = {x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 3m - 2 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \,\left( 2 \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt khác \({x_1},{x_2} \ne 1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\\{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {3m - 2} \right) > 0\\1 + m + 2 + 3m - 2 \ne 0\\ - \left( {m + 2} \right) > 0\\3m - 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 8m + 12 > 0\\4m \ne  - 1\\m + 2 < 0\\m > \frac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 6\\m < 2\end{array} \right.\\m \ne  - \frac{1}{4}\\m <  - 2\\m > \frac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset .\) 

Chọn B.