Phương trình \({\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 1 - \frac...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(t = \sin x + \cos x\)

Biến đổi \(sin2x = {t^2} - 1.\)

Thay t vào phương trình : đưa về phương trình bậc 2 ẩn t. Giải phương trình tìm ẩn t.

Sau đó tìm x.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x\\ \Leftrightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^3} - 3\sin x\cos x\left( {\sin x + \cos x} \right) = 1 - \sin x\cos x\end{array}\)

Đặt \(\sin x + \cos x = t\;\;\,\left( {\left| t \right| \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

Khi đó ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{t^3} - 3\frac{{{t^2} - 1}}{2}t = 1 - \frac{{{t^2} - 1}}{2} \Leftrightarrow {t^3} - {t^2} - 3t + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {{t^2} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\;\;\left( {tm} \right)\\t =  - \sqrt 3 \;\;\left( {ktm} \right)\\t = \sqrt 3 \;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\\ \Rightarrow \sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + m2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\;\;\left( {k,\;m \in Z} \right)\end{array}\)

Chọn B