Phương trình \(\sin x + \cos x = 1\) có bao nhiêu...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Giải phương trình bằng các công thức nghiệm cơ bản.

+) Từ công thức nghiệm tìm số nguyên k  để \(\frac{{2{x_o}}}{\pi }\)  là số nguyên lẻ.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \pi  - \frac{\pi }{4} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + m2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k,\;m \in \mathbb{Z}} \right).\end{array}\)

Với họ nghiệm: \(x = k2\pi \)  thì \(\frac{{2x}}{\pi } = 4k\)  chẵn (loại).

Với họ nghiệm  \(x = \frac{\pi }{2} + m2\pi  \Leftrightarrow \frac{{2x}}{\pi } = 1 + 4m\)  lẻ  (thõa mãn)

Xét \(0 \le \frac{\pi }{2} + m2\pi  \le 10\pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{4} \le m \le 4\frac{3}{4} \Leftrightarrow m \in \left\{ {0;\;1;\;2;\;3;\;4} \right\}\).

Vậy có 5 nghiệm thõa mãn.

Chọn B.