Cho hình vuông \(ABC{\rm{D}}\) . Trên các cạnh \(A...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Áp dụng dấu hiệu nhận biết: hình bình hành, hình chữ nhật, định lý Ta-let.

- Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy.

Giải chi tiết:

a) Vì \(ABC{\rm{D}}\) là hình vuông (gt)

\( \Rightarrow A{\rm{D}}//BC\) (tính chất hình vuông)

\( \Rightarrow AF//NC\) mà \(AF = NC\left( {gt} \right) \Rightarrow ANCF\) là hình bình hành (dhnb)

b) Vì \(ABC{\rm{D}}\) là hình vuông (gt)

\( \Rightarrow A{\rm{D}}\,{\rm{ = }}\,BC = DC = AB\) (tính chất hình vuông)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}AF = NC\\NC = EC\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{AF}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{AM}}{{AB}}\\\frac{{NC}}{{BC}} = \frac{{EC}}{{DC}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}FM//B{\rm{D}}\\EN//B{\rm{D}}\end{array} \right.\) (định lý Ta-let )\( \Rightarrow FM//EN\) (1)

Xét \({\Delta _v}AMF\) và \({\Delta _v}CNE\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AM = NC\\AF = CE\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow {\Delta _v}AMF = {\Delta _v}CNE\) (2 cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow MF = EN\) (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow FMNE\) là hình bình hành (dhnb)

Vì \(ABC{\rm{D}}\) là hình vuông (gt) \( \Rightarrow B{\rm{D}}\) là phân giác của \(\angle ABC\) (tính chất hình vuông)

\( \Rightarrow \angle AB{\rm{D}} = \angle DBC\) (tính chất tia phân giác) hay \(\angle MB{\rm{D}} = \angle NB{\rm{D}}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AM = NC\\AB = BC\\MB = AB - AM\\BN = BC - NC\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow MB = BN\)

Gọi \(MN \cap B{\rm{D}} = \left\{ O \right\}\)

Xét \(\Delta MBO\) và \(\Delta NBO\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}MB = BN\,\left( {cmt} \right)\\BO\,chung\,\,\left( {gt} \right)\\\angle MBO = \angle OBN\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \Delta MBO = \Delta NBO\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \angle MOB = \angle BON\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\angle MOB + \angle BON = {180^0} \Rightarrow \angle MOB = \angle BON = {90^0} \Rightarrow BO \bot MN\)

Mà \(FM//B{\rm{D}} \Rightarrow FM \bot MN \Rightarrow \angle FMN = {90^0}\)

Do đó hình bình hành \(FMNE\) là hình chữ nhật (dhnb)

c) Gọi \(AH\) cắt \(C{\rm{D}}\) tại \(K\).

Xét \({\Delta _v}ABF\) có: \(\angle ABF + \angle AFB = {90^0}\) (2 góc nhọn phụ nhau)

Xét \({\Delta _v}AHF\) có: \(\angle AFH + \angle FAH = {90^0} \Rightarrow \angle AFB + \angle FAH = {90^0}\) (2 góc nhọn phụ nhau)

\( \Rightarrow \angle FAH = \angle ABF\)

Xét \({\Delta _v}ABF\) và \({\Delta _v}DAK\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AB = A{\rm{D}}\left( {gt} \right)\\\angle ABF = \angle FAH\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\Delta _v}ABF = {\Delta _v}DAK\) (cạnh góc vuông – góc nhọn)

\( \Rightarrow AF = DK\) (2 cạnh tương ứng)

Mà \(AF = AM\left( {gt} \right) \Rightarrow AM = DK\)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB = DC\left( {gt} \right)\\AM = DK\left( {cmt} \right)\\BM = AB - AM\left( {gt} \right)\\CK = DC - DK\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BM = CK\) (3)

Mà \(AB//DC\left( {gt} \right) \Rightarrow BM//KC\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(MBCK\) là hình bình hành (dhnb)

Lại có, \(\angle MBC = {90^0}\left( {gt} \right) \Rightarrow \) hình bình hành \(MBCK\) là hình chữ nhật (dhnb)

\( \Rightarrow MC = BK\) (tính chất)

Gọi \(Q\) là giao điểm của \(MC\) và \(BK\)\( \Rightarrow Q\) là trung điểm của mỗi đường.

Xét \({\Delta _v}BHK\) có: \(QH = \frac{{BK}}{2} = \frac{{MC}}{2}\) (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)

\( \Rightarrow \Delta MHC\) vuông tại \(H\) (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy) \( \Rightarrow \angle CHM = {90^0}\)