Cho 3 tham số a, b, c là các số thực. Chứ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

-       Để chứng minh phương trình có nghiệm khi \(\Delta  \ge 0\)

-       Sử dụng tính chất : nếu tổng 3 số \( \ge A\) thì trong 3 số có 1 số \( \ge \dfrac{A}{3}\)

Thật vậy : nếu cả 3 số đều \( < \dfrac{A}{3}\) thì tổng \( < A\) vô lý

Giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2ax + b + c = 1\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} + 2bx + a + c = 1\,\,\,\left( 2 \right)\\{x^2} + 2cx + a + b = 1\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Xét delta của 3 phương trình ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta {'_{\left( 1 \right)}} = {a^2} - \left( {b + c - 1} \right)\\\Delta {'_{\left( 2 \right)}} = {b^2} - \left( {a + c - 1} \right)\\\Delta {'_{\left( 3 \right)}} = {c^2} - \left( {a + b - 1} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta {'_{\left( 1 \right)}} + \Delta {'_{\left( 2 \right)}} + \Delta {'_{\left( 3 \right)}} = {a^2} - 2a + 1 + {b^2} - 2b + 1 + {c^2} - 2c + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} \ge 0\end{array}\)

Giả sử cả 3 số \(\Delta {'_{\left( 1 \right)}};\,\,\Delta {'_{\left( 2 \right)}};\,\,\Delta {'_{\left( 3 \right)}}\) đều nhỏ hơn 0 thì \(\Delta {'_{\left( 1 \right)}} + \Delta {'_{\left( 2 \right)}} + \Delta {'_{\left( 3 \right)}} < 0\)

\( \Rightarrow \)vô lý \( \Rightarrow \)trong 3 số \(\Delta {'_{\left( 1 \right)}};\,\,\Delta {'_{\left( 2 \right)}};\,\,\Delta {'_{\left( 3 \right)}}\)tồn tại 1 số lớn hơn hoặc bằng 0.

Do đó luôn có 1 phương trình có nghiệm (đpcm).

Vậy ít nhất 1 trong 3 phương trình sau có nghiệm.