Biện luân theo m số nghiệm của phương trình: \(\le...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét khoảng của x để phá dấu trị tuyệt đối .

Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2.

Giải chi tiết:

\(\left| {{x^2} - 3x + 2} \right| = 3m + 1\,\,\left( * \right) \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \right| = 3m + 1 \ge 0 \Rightarrow m \ge \dfrac{{ - 1}}{3}\)

- Với \(m < \dfrac{{ - 1}}{3}\) phương trình vô nghiệm

- Với \(m \ge \dfrac{{ - 1}}{3} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 = 3m + 1\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - 3x + 2 =  - 3m - 1\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Ta có

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 3m + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 3m + 1 = 0\) có \(\Delta  = 9 - 4\left( {1 - 3m} \right) = 5 + 12m\)

Với \(m \ge \dfrac{{ - 1}}{3} \Rightarrow \Delta  = 5 + 12m > 0\): phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x = \dfrac{{3 \pm \sqrt {5 + 12m} }}{2}\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow  - {x^2} + 3x - 2 = 3m + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 3 + 3m = 0\)

Phương trình \({x^2} - 3x + 3 + 3m = 0\) có \(\Delta  = 9 - 4\left( {3 + 3m} \right) =  - 3 - 12m\)

+) \( - 3 - 12m < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{{ - 1}}{4}\) phương trình (1) vô nghiệm

+)\( - 3 - 12m = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 1}}{4}\) phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{3}{2}\)

+)\( - 3 - 12m > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{3} \le m < \dfrac{{ - 1}}{4}\) phương trình có 2  nghiệm phân biệt \(x = \dfrac{{3 \pm \sqrt { - 3 - 12m} }}{2}\)

Xét trường hợp \(x = \dfrac{{3 \pm \sqrt { - 3 - 12m} }}{2} = \dfrac{{3 \pm \sqrt {5 + 12m} }}{2} \Rightarrow m = \dfrac{{ - 1}}{3}\) thì phương trình (*) có 2 nghiệm

Kết hợp (1) và (2) ta có :

Khi \(m > \dfrac{{ - 1}}{4}\)hoặc \(m = \dfrac{{ - 1}}{3}\) thì PT(*) có 2 nghiệm.

Khi \(m = \dfrac{{ - 1}}{4}\) thì PT(*) có 3 nghiệm.

Khi \(\dfrac{{ - 1}}{3} < m < \dfrac{{ - 1}}{4}\) thì PT(*) có 4 nghiệm.