Để phương trình: \(4\sin \left( {x + \frac{\pi }{3...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Dùng công thức cộng cung để biến đổi vế phải về dạng đơn giản hơn

- Dùng điều kiện  có nghiệm của phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;4\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = {a^2} - \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x\\ \Leftrightarrow 4\left( {\sin x\cos \frac{\pi }{3} + \cos x\sin \frac{\pi }{3}} \right)\left( {\cos x\cos \frac{\pi }{6} + \sin x\sin \frac{\pi }{6}} \right) = {a^2} - \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x\\ \Leftrightarrow 4\left( {\frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x} \right) = {a^2} - \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x\\ \Leftrightarrow {\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)^2} + \sqrt 3 \sin 2x + \cos 2x = {a^2}\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x + 2\sqrt 3 sinx.\cos x + \sqrt 3 \sin 2x + \cos 2x = {a^2}\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + 3\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right) + \cos 2x + 2\sqrt 3 \sin 2x = {a^2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt 3 \sin 3x + 2\cos 2x = {a^2} - 2\end{array}\)

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} + {2^2} \ge {\left( {{a^2} - 2} \right)^2} \Leftrightarrow \left| {{a^2} - 2} \right| \le 4 \Leftrightarrow  - 4 \le {a^2} - 2 \le 4 \Leftrightarrow  - \sqrt 6  \le a \le \sqrt 6 \)

Chọn C.