Số nghiệm của phương trình \({\cos ^2}x = \frac{3}...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ta có: \({\cos ^2}x = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \left| {\cos x} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) sau đó bỏ dấu giá trị tuyệt đối và áp dụng công thức nghiệm để giải phương trình.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;{\cos ^2}x = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \left| {\cos x} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\cos x =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x =  \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \;\;\;\left( {k \in Z} \right).\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho có nghiệm trong \(\left[ {0;\;2\pi } \right]\)

 \(\begin{array}{l}\frac{\pi }{6} + k\pi  \in \left[ {0;2\pi } \right] \Leftrightarrow 0 \le \frac{\pi }{6} + k\pi  \le 2\pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{6} \le k \le \frac{{11}}{6}\,\,\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 0\\k = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6}\\x = \frac{{7\pi }}{6}\end{array} \right.\\ - \frac{\pi }{6} + k\pi  \in \left[ {0;2\pi } \right] \Leftrightarrow 0 \le  - \frac{\pi }{6} + k\pi  \le 2\pi  \Leftrightarrow \frac{1}{6} \le k \le \frac{{13}}{6}\,\,\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1\\k = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{6}\\x = \frac{{11\pi }}{6}\end{array} \right.\end{array}\) 

Vậy phương trình có 4 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.