Cho \(a\)  và \(b\) là các số thực khác 0. Nếu \(\...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt\(g\left( x \right) = {x^2} + ax + b\) . Rõ ràng là nếu \(g\left( 2 \right)\; \ne 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{x - 2}}\) không thể hữu hạn.  Do đó điều kiện đầu tiên là \(g\left( 2 \right)\; = 0 \Leftrightarrow 2a + b =  - 4\).

+) Khi đó \(g\left( x \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x - \frac{b}{2}} \right)\) và  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - \frac{b}{2}} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - \frac{b}{2}} \right) = 2 - \frac{b}{2}\) .

+) Xác định \(a\) và \(b\).

Giải chi tiết:

Đặt\(g\left( x \right) = {x^2} + ax + b\) . Rõ ràng là nếu \(g\left( 2 \right)\; \ne 0\) thì\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{x - 2}}\) không thể hữu hạn.  Do đó điều kiện đầu tiên là \(g\left( 2 \right)\; = 0 \Leftrightarrow 2a + b =  - 4 \Leftrightarrow a = \frac{{ - 4 - b}}{2}.\)

Khi đó \(g\left( x \right) = {x^2} - \frac{{b + 4}}{2}x + b = {x^2} - 2x - \frac{b}{2} + x = \left( {x - 2} \right)\left( {x - \frac{b}{2}} \right)\)

và  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - \frac{b}{2}} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - \frac{b}{2}} \right) = 2 - \frac{b}{2}\) .

Vậy  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{x - 2}} = 6 \Leftrightarrow 2 - \frac{b}{2} = 6 \Leftrightarrow b =  - 8 \Rightarrow \,\,a = 2 \Rightarrow a + b =  - 6.\)

Chọn C.