Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(x,\,\,y,\,\,z\...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét hiệu và đánh giá.

Giải chi tiết:

Ta xét hiệu:

\(\begin{align} \left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}} \right)-\left( x+y+z \right)=\left( {{x}^{3}}-x \right)+\left( {{y}^{3}}-y \right)+\left( {{z}^{3}}-z \right) \\  =x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+y\left( y-1 \right)\left( y+1 \right)+z\left( z-1 \right)\left( z+1 \right) \\ \end{align}\)    

Ta thấy \(\left\{ \begin{align} x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right) \\  y\left( y-1 \right)\left( y+1 \right) \\  z\left( z-1 \right)\left( z+1 \right) \\ \end{align} \right.\) là các bộ 3 số tự nhiên nhiên liên tiếp nên

\(\begin{align}x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+y\left( y-1 \right)\left( y+1 \right)+z\left( z-1 \right)\left( z+1 \right)\,\,\vdots \,\,6 \\  \Rightarrow 6|\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}} \right)-\left( x+y+z \right) \\ \end{align}\)

Mà \(6|x + y + z\)\(\Rightarrow 6|\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}} \right)\) (đpcm).