Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển \({\l...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Số hạng hữu tỉ là số hạng có chứa \({a^{\frac{k}{i}}}{x^{\frac{m}{n}}}\) với \(k\; \vdots \;i,\;\;m\; \vdots \;n.\)

Giải chi tiết:

\({\left( {\sqrt {10}  + \sqrt[8]{3}} \right)^{300}} = {\sum\limits_{k = 0}^{300} {C_{300}^k.{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{300 - k}}.\left( {\sqrt[8]{3}} \right)} ^k}.\)

Ta có: \({\left( {\sqrt {10}  + \sqrt[8]{3}} \right)^{300}} = {\sum\limits_{k = 0}^{300} {C_{300}^k{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^k}\left( {\sqrt[8]{3}} \right)} ^{300 - k}} = \sum\limits_{k = 0}^{300} {C_{300}^k{{.10}^{\frac{k}{2}}}{{.3}^{\frac{{300 - k}}{8}}}.} \)

Để có số hạng hữu tỉ của khai triển thì: \(\left\{ \begin{array}{l}k\; \vdots \;2\\\left( {300 - k} \right)\; \vdots \;8\;\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 2t\;\;\left( {t \in N} \right)\\\left( {300 - 2t} \right)\; \vdots \;8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 2t\\2\left( {150 - t} \right)\; \vdots \;8\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {150 - t} \right)\; \vdots \;4 \Rightarrow \left( {150 + 8 - t} \right)\; \vdots \;4\\ \Rightarrow \left( {158 - t} \right) = 4m\;\;\left( {m \in N} \right)\\ \Rightarrow 4m \le 150 \Leftrightarrow m \le \frac{{75}}{2} = 37,5.\\ \Rightarrow m \in \left\{ {0;\;1;\;2;\;....;\;37} \right\}.\end{array}\)

Như vậy có: \(38\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B