Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Qua điểm M th...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương  pháp:

Sử dụng nhuần nhuyễn các tính chất và định lý của đường tròn để làm bài toán như:

+) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

+) Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau…..

Giải chi tiết:

Ta có: CA, CM là các tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow \) AC = CM, OC là tia phân giác \(\widehat{AOM}\).

Tương tự BD = DM, OD là tia phân giác \(\widehat{BOM}\). Vậy: AC + BD = CM + DM = CD

OC, OD là hai tia phân giác hai góc kề bù \(\widehat{AOM}\) và \(\Rightarrow \widehat{COD}=\) 90⁰.

\(\Delta \) COD vuông tại O, OM là đường cao

\(\Rightarrow \) CM .DM = OM² = R² \(\Rightarrow \) AC. BD = R²

AC\(\bot \) AB, BD\(\bot \) AB\(\Rightarrow \) AC // BD \(\Rightarrow \frac{AN}{DN}=\frac{AC}{BD}\Rightarrow \frac{AN}{DN}=\frac{CM}{DM}\)

\(\Delta \) ACD có \(\frac{AN}{DN}=\frac{CM}{DM}\) \(\Rightarrow \) MN // AC, mà AC\(\bot \) AB.

Do đó: MN\(\bot \) AB

\(\begin{align} & AC=AB\tan \widehat{ABC}=2R.\frac{1}{4}=\frac{R}{2};\,\,\,BD={{R}^{2}}:\left( \frac{1}{2}R \right)=2R. \\  & \Rightarrow CD=\frac{5R}{2}. \\  &\frac{BK}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{DM}{CD}\Rightarrow\frac{BK}{2R}=\frac{2R}{\frac{5}{2}R}\Rightarrow BK=\frac{8}{5}R. \\ \end{align}\)