Người ta muốn dùng vật liệu bằng tấm kim loại để g...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Phương pháp: - Ta có bài toán tương đương sau:

“Trong các khối trụ có cùng thể tích thì hình trụ nào có diện tích toàn phần nhỏ nhất.”

 Ta có \(\dfrac{S}{{2\pi }} = {R^2} + Rh = {R^2} + R.\dfrac{V}{{\pi {R^2}}} = {R^2} + \dfrac{V}{{\pi R}} = {R^2} + \dfrac{V}{{2\pi R}} + \dfrac{V}{{2\pi R}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có

\({R^2} + \dfrac{V}{{2\pi R}} + \dfrac{V}{{2\pi R}} \geqslant 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{V^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}\)

Suy ra ta có

\(\dfrac{S}{{2\pi }} \geqslant 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{V^2}}}{{4{\pi ^2}}}}} \Leftrightarrow S \geqslant 6\pi \sqrt[3]{{\dfrac{{{V^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}\)

Dấu  "=" xảy ra khi \({R^2} = \dfrac{V}{{2\pi R}} \Leftrightarrow {R^2} = \dfrac{{\pi {R^2}h}}{{2\pi R}} \Leftrightarrow {R^2} = \dfrac{{Rh}}{2} \Leftrightarrow R = \dfrac{h}{2} \Leftrightarrow 2R = h\).

Với \(2R = h\)  ta có \(V = \pi {R^2}h = \pi {(\dfrac{h}{2})^2}.h = \dfrac{{\pi {h^3}}}{4} \Rightarrow h = \sqrt[3]{{\dfrac{{4V}}{\pi }}} = 2\sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}\) 

Vậy \(h = 2R = 2\sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}\) .

Cách giải: Từ công thức \(V = \pi {R^2}h\), ta xét hai trường hợp:

Nếu\(R = 2h\), ta có \(V = \pi {R^2}h = \pi {R^2}.\dfrac{R}{2} = \dfrac{{\pi {R^3}}}{2} \Rightarrow R = \sqrt[3]{{\dfrac{{2V}}{\pi }}} = 2\sqrt[3]{{\dfrac{V}{{4\pi }}}}\)

Đáp án A, B loại.

Nếu \(h = 2R\), ta có \(V = \pi {R^2}h = \pi {(\dfrac{h}{2})^2}.h = \dfrac{{\pi {h^3}}}{4} \Rightarrow h = \sqrt[3]{{\dfrac{{4V}}{\pi }}} = 2\sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}\)

 Đáp án D  đúng.

Đáp án D