Đường cong \(y = {1 \over 4}{x^4} - 2m{x^2} - m -...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị.

+) Tìm các điểm cực trị A, B, C.

+) Tam giác ABC luôn là tam giác cân, giả sử cân tại A \( \Rightarrow {S_{ABC}} = {1 \over 2}d\left( {A;BC} \right).BC\)

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\)

Ta có: \(y' = {x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \hfill \cr   {x^2} = 4m \hfill \cr}  \right.\)

Để hàm số có ba điểm cực trị \( \Leftrightarrow pt\,\,y' = 0\) có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m > 0\)

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \Rightarrow y =  - m - 1 \Rightarrow A\left( {0; - m - 1} \right) \hfill \cr   x = 2\sqrt m  \Rightarrow y =  - 4{m^2} - m - 1 \Rightarrow B\left( {2\sqrt m ; - 4{m^2} - m - 1} \right) \hfill \cr   x =  - 2\sqrt m  \Rightarrow y =  - 4{m^2} - m - 1 \Rightarrow C\left( { - 2\sqrt m ; - 4{m^2} - m - 1} \right) \hfill \cr}  \right. \Rightarrow BC = 4\sqrt m \)

Đường thẳng BC có phương trình \(y =  - 4{m^2} - m - 1 \Rightarrow d\left( {A;BC} \right) = {{\left| {4{m^2}} \right|} \over {\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = 4{m^2}\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow {S_{ABC}} = {1 \over 2}d\left( {A;BC} \right).BC = {1 \over 2}.4{m^2}.4\sqrt m  = 32\sqrt 2   \cr   &  \Leftrightarrow 8{m^2}\sqrt m  = 32\sqrt 2   \cr   &  \Leftrightarrow {m^2}\sqrt m  = 4\sqrt 2   \cr   &  \Leftrightarrow m = 2 \in \left( {1;3} \right)\,\,\,\left( {tm} \right) \cr} \)

Chọn B.