Cho hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( x+y \right)}^{2}}-2xy \\  & {{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{\left( x+y \right)}^{3}}-3xy\left( x+y \right) \\ \end{align} \right.\) 

Sau đó đặt \(\left\{ \begin{align}& x+y=u \\  & xy=v \\ \end{align}\right.\) thay vào ta được hệ phương trình với ẩn \(u,v\) rút \(v\) theo \(u\) từ phương trình (1) thay vào phương trình (2) để giải.

Kết hợp với yêu cầu đề bài tìm nghiệm nguyên để tìm ra kết quả.

Giải chi tiết:

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 5\\{x^3} + {y^3} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 5\\{\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) = 9\end{array} \right.\)

Đặt: 

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = u\\xy = v\end{array} \right.\left( {{u^2} \ge 4v} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u^2} - 2v = 5\\{u^3} - 3uv = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{{{u^2} - 5}}{2}\\{u^3} - 3u\frac{{{u^2} - 5}}{2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{{{u^2} - 5}}{2}\\{u^3} - 15u + 18 = 0\end{array} \right.(*)\)

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì hệ phương trình (*) có nghiệm nguyên

\(\Rightarrow \) Phương trình \({{u}^{3}}-15u+18=0\) có nghiệm nguyên

Mặt khác \({{u}^{3}}-15u+18=0\Leftrightarrow \left( u-3 \right)\left( {{u}^{2}}+3u-6 \right)=0\) phương trình \({{u}^{2}}+3u-6=0\) không có nghiệm nguyên nên hệ phương trình (*) chỉ có nghiệm nguyên

\(\left\{ \begin{align} & u=3 \\  & v=2 \\ \end{align} \right.\)

Khi đó,ta được: \(\left\{ \begin{align} & x+y=3 \\  & xy=2 \\ \end{align} \right.\) 

Suy ra \(x,y\) là nghiệm của phương trình \({{T}^{2}}-3T+2=0\Rightarrow \)

\( \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên.

Chọn A.