Cho phương trình \({x^2} + mx + n - 3 = 0\). Tìm m...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng biểu thức  \(\Delta \) để tìm điều kiện phương trình có 2 nghiệm, sử dụng định lý Vi – ét biến đổi biểu thức theo \({x_1} + {x_2}\,\,;\,\,{x_1}{x_2}\) . Từ đó tìm điều kiện của m và n. 

Giải chi tiết:

\(\Delta  = {m^2} - 4(n - 3) = {m^2} - 4n + 12\)

Phương trình có hai nghiệm \({x_1}\,\,;\,\,{x_2} \Leftrightarrow \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4n + 12 \ge 0\)

Áp dụng định lý Vi – ét ta có: \({x_1} + {x_2} =  - m\,\,\,;\,\,{x_1}{x_2} = n - 3\,\,\,.\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {x_2} = 1\\x_1^2 - x_2^2 = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 1\\({x_1} - {x_2})({x_1} + {x_2}) = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 1\\{x_1} + {x_2} = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}49 - 4{x_1}{x_2} = 1\\{x_1} + {x_2} = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} = 12\\{x_1} + {x_2} = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n - 3 = 12\\ - m = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 7\\n = 15\end{array} \right..\end{array}\)

Thử lại ta có:   \(\Delta  = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.15 + 12 = 1 > 0\,\,\,\left( {tm} \right)\)

\({x_1}\,\,;\,\,{x_2} \Leftrightarrow \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4n + 12 \ge 0\)