Cho Parabol \((P):y={{x}^{2}}\) và đường thẳng \((...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Lập phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P). Sử dụng biểu thức \(\Delta \) để tìm điều kiện phương trình có 2 nghiệm, sử dụng định lý Vi – ét biến đổi biểu thức theo \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}\,\,;\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}\). Từ đó tìm điều kiện của m và n.

Giải chi tiết:

 Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

\(\begin{align}  & \,\,\,\,\,\,\,{{x}^{2}}=-mx-n+3 \\  & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx+n-3=0 \\ \end{align}\)

\(\Delta ={{m}^{2}}-4(n-3)={{m}^{2}}-4n+12\)

Phương trình có hai nghiệm\({{x}_{1}}\,\,;\,\,{{x}_{2}}\)\(\Leftrightarrow \Delta \ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4n+12\ge 0\)

Áp dụng định lý Vi – ét ta có: \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m\,\,\,;\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=n-3\,\,\,.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} - {x_2} = 1\\
x_1^2 - x_2^2 = 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} - {x_2} = 1\\
({x_1} - {x_2})({x_1} + {x_2}) = 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} - {x_2} = 1\\
{x_1} + {x_2} = 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{({x_1} - {x_2})^2} = 1\\
{x_1} + {x_2} = 7
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{({x_1} + {x_2})^2} - 4{x_1}{x_2} = 1\\
{x_1} + {x_2} = 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{( - m)^2} - 4(n - 3) = 1\\
- m = 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = - 7\\
{7^2} - 4(n - 3) = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = - 7\\
n = 15
\end{array} \right.
\end{array}\)

Chọn B.