a) Giải phương trình: \(2\left[ \left( 1-x \right)...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện xác định của phương trình.

+) Giải phương trình bằng các phép biến đổi tương đương.

b) Biến đổi từng phương trình sau đó giải hệ phương trình bằng cách xét các trường hợp.

Giải chi tiết:

a) Điều kiện: \({{x}^{2}}+2x-1\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x>-1+\sqrt{2} \\  & x<-1-\sqrt{2} \\ \end{align} \right..\)

\(\begin{array}{l}
Pt \Leftrightarrow 2\left( {1 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 2x - 1} + 2x = {x^2} - 1\\
\Leftrightarrow - 2\left( {1 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 2x - 1} = - {x^2} + 2x + 1\\
\Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} - 2\left( {1 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 2x - 1} + {x^2} + 2x - 1 = {x^2} + 2x + 1\\
\Leftrightarrow {\left( {1 - x - \sqrt {{x^2} + 2x - 1} } \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^2}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 - x - \sqrt {{x^2} + 2x - 1} = x + 1\\
1 - x - \sqrt {{x^2} + 2x - 1} = - x - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- 2x = \sqrt {{x^2} + 2x - 1} \\
\sqrt {{x^2} + 2x - 1} = 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \le 0\\
4{x^2} = {x^2} + 2x - 1
\end{array} \right.\\
{x^2} + 2x - 1 = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \le 0\\
3{x^2} - 2x + 1 = 0
\end{array} \right.\\
{x^2} + 2x - 5 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \le 0\\
VN
\end{array} \right.\\
x = - 1 + \sqrt 6 \,\,\,\left( {tm} \right)\\
x = - 1 - \sqrt 6 \,\,\,\left( {tm} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1 + \sqrt 6 \\
x = - 1 - \sqrt 6
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm :  \(S = \left\{ { - 1 + \sqrt 6 ;\,\, - 1 - \sqrt 6 } \right\}.\)

b) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}y\left( {x - y - 1} \right) + x \ge 0\\8 - x \ge 0\\y + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 8\\y \ge  - 1\\y\left( {x - y - 1} \right) + x \ge 0\end{array} \right..\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - 2 + \sqrt {y\left( {x - y - 1} \right) + x}  = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3\sqrt {8 - x}  - \frac{{4y}}{{\sqrt {y + 1}  + 1}} = {x^2} - 14y - 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\)

Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {y\left( {x - y - 1} \right) + x}  =  - \left( {x - 3y - 2} \right)\)

                \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {xy - {y^2} - y + x}  =  - \left( {x - 3y - 2} \right)\\ \Leftrightarrow  - \sqrt {\left( {x - y} \right)\left( {y + 1} \right)}  = x - 3y - 2.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(\left( * \right) \Leftrightarrow t\left( {x - y} \right) + k\left( {y + 1} \right) = x - 3y - 2\)

           \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow tx + \left( {k - t} \right)y + k = x - 3y - 2\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\k - t =  - 3\\k =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\k =  - 2\end{array} \right..\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow  - \sqrt {\left( {x - y} \right)\left( {y + 1} \right)}  = \left( {x - y} \right) - 2\left( {y + 1} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \left( {x - y} \right) - 2\left( {y + 1} \right) + \sqrt {\left( {x - y} \right)\left( {y + 1} \right)}  = 0.\;\;\;\;\left( {**} \right)\end{array}\)

+) TH1: \(y =  - 1 \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow x =  - 1.\)

Khi đó: \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3\sqrt {8 + 1}  - \frac{{4.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {\left( { - 1} \right) + 1}  + 1}} = {\left( { - 1} \right)^2} - 14.\left( { - 1} \right) - 8\)

                   \( \Leftrightarrow 3.3 + 4 = 7\;\;\) (vô lý)

+) TH2:  \(y >  - 1,\) chia cả hai vế của phương trình (**) cho \(y + 1\)  ta được:

\(\left( {**} \right) \Leftrightarrow {\left( {\frac{{x - y}}{{y + 1}}} \right)^2} - 2 + \sqrt {\frac{{x - y}}{{y + 1}}}  = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Đặt \(\sqrt {\frac{{x - y}}{{y + 1}}}  = t\,\,\,\left( {t \ge 0} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^4} + t - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {{t^3} + {t^2} + t + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\t \approx  - 1,35\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \sqrt {\frac{{x - y}}{{y + 1}}}  = 1 \Leftrightarrow x - y = y + 1 \Leftrightarrow x = 2y + 1.\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 8\\y \ge  - 1\\x = 2y + 1\\y\left( {x - y - 1} \right) + x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y + 1 \le 8\\y \ge  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge  - 1\\y \le \frac{7}{2}\end{array} \right..\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3\sqrt {8 - 2y - 1}  - \frac{{4y}}{{\sqrt {y + 1}  + 1}} = {\left( {2y + 1} \right)^2} - 14y - 8\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {7 - 2y}  - \frac{{4y}}{{\frac{{y + 1 - 1}}{{\sqrt {y + 1}  - 1}}}} = 4{y^2} + 4y + 1 - 14y - 8\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {7 - 2y}  - 4\left( {\sqrt {y + 1}  - 1} \right) = 4{y^2} - 10y - 7\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {7 - 2y}  - 4\sqrt {y + 1}  + 4 = 4{y^2} - 10y - 7\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {7 - 2y}  - 4\sqrt {y + 1}  = 4{y^2} - 10y - 11\\ \Leftrightarrow 4{y^2} - 10y - 6 + 4\left( {\sqrt {y + 1}  - 2} \right) + 3\left( {1 - \sqrt {7 - 2y} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {2{y^2} - 5y - 3} \right) + \frac{{4\left( {y + 1 - 4} \right)}}{{\sqrt {y + 1}  - 2}} + \frac{{3\left( {1 - 7 + 2y} \right)}}{{1 + \sqrt {7 - 2y} }} = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left( {y - 3} \right)\left( {2y + 1} \right) + \frac{{4\left( {y - 3} \right)}}{{\sqrt {y + 1}  - 2}} + \frac{{6\left( {y - 3} \right)}}{{1 + \sqrt {7 - 2y} }} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y - 3} \right)\left[ {4y + 2 + \frac{4}{{\sqrt {y + 1}  - 2}} + \frac{6}{{1 + \sqrt {7 - 2y} }}} \right] = 0\,\,\,\,\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y - 3 = 0\\4y + 2 + \frac{4}{{\sqrt {y + 1}  - 2}} + \frac{6}{{1 + \sqrt {7 - 2y} }} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 3\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\4y + 2 + \frac{4}{{\sqrt {y + 1}  - 2}} + \frac{6}{{1 + \sqrt {7 - 2y} }} = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Xét \(f\left( y \right) = 4y + 2 + \frac{4}{{\sqrt {y + 1}  - 2}} + \frac{6}{{1 + \sqrt {7 - 2y} }}\)  ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( y \right) = 4\left( {y + 1} \right) + \frac{4}{{\sqrt {y + 1}  + 2}} - \frac{1}{2} + \frac{6}{{1 + \sqrt {7 - 2y} }} - \frac{3}{2}\\ = 4\left( {y + 1} \right) + \frac{{8 - \sqrt {y + 1}  - 2}}{{2\left( {\sqrt {y + 1}  + 2} \right)}} + \frac{{12 - 3 - 3\sqrt {7 - 2y} }}{{2\left( {1 + \sqrt {7 - 2y} } \right)}}\\ = 4\left( {y + 1} \right) + \frac{{6 - \sqrt {y + 1} }}{{2\left( {\sqrt {y + 1}  + 2} \right)}} + \frac{{3\left( {3 - \sqrt {7 - 2y} } \right)}}{{2\left( {1 + \sqrt {7 - 2y} } \right)}}\end{array}\)

Vì \( - 1 \le y \le \frac{7}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + 1 \ge 0\\6 - \sqrt {y + 1}  > 0\\3 - \sqrt {7 - 2y}  \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow f\left( y \right) > 0\)

\( \Rightarrow f\left( y \right) = 0\) vô nghiệm.

\( \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm \(y = 3 \Rightarrow x = 2.3 + 1 = 7\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {7;\;3} \right).\)

 Chọn A.