Cho \({\left( {1 + 2x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Công thức khai triển nhị thức Newton: \({(x + y)^n} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{x^i}.{y^{n - i}}} \). Đánh giá, tìm giá trị lớn nhất trong các số \({a_0},\,\,{a_1},\,\,...,\,{a_n}\).       

Giải chi tiết:

\({\left( {1 + 2x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_n}{x^n},\,\,n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow {\left( {1 + 2.\frac{1}{2}} \right)^n} = {a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + \frac{{{a_2}}}{{{2^2}}} + ... + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = {2^n} = 4096 \Rightarrow n = 12\)

Khi đó, \({\left( {1 + 2x} \right)^n} = {(1 + 2x)^{12}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{12}}{x^{12}}\)

Mà \({(1 + 2x)^{12}} = \sum\limits_{i = 0}^{12} {C_{12}^i{2^i}{x^i}}  \Rightarrow {a_i} = C_{12}^i{2^i},\,\,\forall i = \overline {0;12} \)

Dễ dàng kiểm tra \({i_0} = C_{12}^0{2^0} = 1\) và  \({i_{12}} = C_{12}^{12}{2^{12}} = {2^{12}}\)không phải giá trị lớn nhất trong các số \({a_0},\,\,{a_1},\,\,...,\,{a_{12}}\).

Giả sử \({a_i}\)là giá trị lớn nhất cần tìm. Khi đó, \({a_{i - 1}} \le {a_i} \le {a_{i + 1}},\,\,i \in \left\{ {1;2;3;...;11} \right\}\)

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}C_{12}^i{2^i} \ge C_{12}^{i - 1}{2^{i - 1}}\\C_{12}^i{2^i} \ge C_{12}^{i + 1}{2^{i + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{12!}}{{i!.(12 - i)!}}{.2^i} \ge \frac{{12!}}{{(i - 1)!.(13 - i)!}}{.2^{i - 1}}\\\frac{{12!}}{{i!.(12 - i)!}}{.2^i} \ge \frac{{12!}}{{(i + 1)!.(11 - i)!}}{.2^{i + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{i} \ge \frac{1}{{13 - i}}\\\frac{1}{{12 - i}} \ge \frac{2}{{i + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}26 - 2i \ge i\\i + 1 \ge 24 - 2i\end{array} \right.\)

(do \(i \in \left\{ {1;2;3;...;11} \right\}\))

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}i \le \frac{{26}}{3}\\i \ge \frac{{23}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow i = 8\)

Vậy số lớn nhất trong các số \({a_0},\,\,{a_1},\,\,...,\,{a_n}\)là:  \({a_8} = C_{12}^8{.2^8} = 126720\).

Chọn: A