Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho ba đi...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét đẳng thức vectơ, đưa về hình chiếu của điểm trên mặt phẳng

Giải chi tiết:

Gọi \(M\left( a;b;c \right)\) thỏa mãn đẳng thức vectơ \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( {1 - a;1 - b;1 - c} \right) + \left( {0 - a;1 - b;2 - c} \right) + \left( { - 2 - a;1 - b;4 - c} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( { - 4a;4 - 4b;8 - 4c} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 1\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0;1;2} \right)\end{array}\) 

Khi đó \(S=2N{{A}^{2}}+N{{B}^{2}}+N{{C}^{2}}=2{{\overrightarrow{NA}}^{2}}+{{\overrightarrow{NB}}^{2}}+{{\overrightarrow{NC}}^{2}}=2{{\left( \overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MB} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MC} \right)}^{2}}\)

\(\begin{align}  =4M{{N}^{2}}+2\overrightarrow{NM}.\left(\underbrace{2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}}_{{\vec{0}}}\right)+\underbrace{2M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}}_{const} \\  =4M{{N}^{2}}+\underbrace{2M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}}_{const} \\ \end{align}\)

Suy ra \({{S}_{\min }}\Leftrightarrow \,\,M{{N}_{\min }}\,\,\Leftrightarrow \,\,N\) là hình chiếu của \(M\) trên \(\left( P \right)\)\(\Rightarrow \,\,MN\bot \left( P \right).\)

Phương trình đường thẳng \(MN\) là \(\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-\,1}=\frac{z-2}{1}\)\(\Rightarrow \,\,N\left( t;1-t;t+2 \right).\)

Mà \(M\in mp\,\,\left( P \right)\) suy ra \(t-\left( 1-t \right)+t+2+2=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow N\left( -1;2;1 \right).\)