Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm\(A\left...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tìm điểm \(I\) thỏa mãn \(3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\).

- Điều kiện để \(3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}\) nhỏ nhất là \(M\equiv I\)

Giải chi tiết:

\(3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}=3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}=4M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\left( 3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} \right)+3I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}}\,\)

*) Ta xác định tọa độ điểm I sao cho :

       \(3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 4\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IA}  = \left( { - {x_I}; - {y_I}; - 1 - {z_I}} \right)\\\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;1;1} \right)\\\overrightarrow {AC}  = (1;0;2)\end{array}\)  \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x_I} =  - \frac{1}{2}.( - 1) + \frac{1}{4}.1\\ - {y_I} =  - \frac{1}{2}.1 + \frac{1}{4}.0\\ - 1 - {z_I} =  - \frac{1}{2}.1 + \frac{1}{4}.2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} =  - \frac{3}{4}\\{y_I} = \frac{1}{2}\\{z_I} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - \frac{3}{4};\frac{1}{2}; - 1} \right)\)

*) Với I xác định như trên, ta có: \(3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}=4M{{I}^{2}}+3I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}}\ge 3I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}}\)

Như vậy, \(3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}\)đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(3I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}}\) khi và chỉ khi M trùng \(I\left( -\frac{3}{4};\frac{1}{2};-1 \right)\)

Vậy, \(M\left( -\frac{3}{4};\frac{1}{2};-1 \right)\)

Chọn: D.