Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt[...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Thể tích của vật tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x=a;\ \ x=b\ \ \left( a<b \right)\)  khi quay quanh trục Ox là: \(V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx.\)

Giải chi tiết:

Đk: \(4-{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow -2\le x\le 2.\)

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \sqrt[4]{{{x^2}\left( {4 - {x^2}} \right)}} = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {4 - {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\\x = 2\end{array} \right..\)

\(\Rightarrow {{V}_{\left( H \right)}}=\pi \int\limits_{-2}^{0}{\sqrt{{{x}^{2}}\left( 4-{{x}^{2}} \right)}dx+\pi \int\limits_{0}^{2}{\sqrt{{{x}^{2}}\left( 4-{{x}^{2}} \right)}dx=2\pi }}\int\limits_{0}^{2}{\sqrt{4{{x}^{2}}-{{x}^{4}}}dx}=2\pi \int\limits_{0}^{2}{x\sqrt{4-{{x}^{2}}}}dx.\)

Đặt \(\sqrt{4-{{x}^{2}}}=t\Rightarrow {{t}^{2}}=4-{{x}^{2}}\Rightarrow tdt=-xdx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 2.\\x = 2 \Rightarrow t = 0.\end{array} \right.\) 

\(\Rightarrow {{V}_{\left( H \right)}}=-2\pi \int\limits_{-2}^{0}{{{t}^{2}}dt}=2\pi \int\limits_{0}^{2}{{{t}^{2}}dt}=2\pi .\left. \frac{{{t}^{3}}}{3} \right|_{0}^{2}=\frac{16\pi }{3}.\)

Chọn C.