Đồ thị hàm số \(y=\frac{5x+1-\sqrt{x+1}}{{{x}^{2}}...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa tiệm cận

Đường thẳng \(y=a\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) khi một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn

\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=a\) hoặc \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=a\).

Đường thẳng \(x=b\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) khi một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

\(\underset{x\to {{b}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty ,\underset{x\to {{b}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty ,\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty ,\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty \).

Giải chi tiết:

Hàm số có dạng \(y=\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}\)với \(f\left( x \right)=5x+1-\sqrt{x+1};\,\,g\left( x \right)={{x}^{2}}-2x\)

*) Do bậc của \(f\left( x \right)\)nhỏ hơn bậc của \(g\left( x \right)\)\(\Rightarrow \)TCN : \(y=0\)

*) Do : \(g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 0\end{array} \right.\) và \(f\left( 2 \right)\ne 0\Rightarrow \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\infty \Rightarrow \)TCĐ : \(x=2\)

*) Do \(f\left( 0 \right)=0\)nên kiểm tra :

\(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 5x+1 \right)}^{2}}-\left( x+1 \right)}{x\left( x-2 \right)\left( 5x+1+\sqrt{x+1} \right)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{25x+9}{\left( x-2 \right)\left( 5x+1+\sqrt{x+1} \right)}=-\frac{9}{4}\ne \infty \)

(Lưu ý : có thể kiểm tra bằng máy tính)

Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là\(y=0\) và \(x=2\) .

Chọn D.